Analyse Numérique avec C++ — Méthodes & Convergences

Poisson 1D · Équation de la chaleur · Black-Scholes · Méthodes itératives (PCG)

ISN · UNIV. LILLE · 2026

Created by Nguyen Duc Hoang Viet

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Partie 1 — Poisson 1D

LDL^T

Factorisation profil + résolution

Résultats clés

N max testé65 536

β exp. (α = 0)≈ 0.943

Constante C (α = 0)3.874

β exp. (α = 10)≈ 0.904

Ordre théoriqueO(h²) asymp.

Convergence log(ε) vs log(N)

α = 0

α = 10

pente −2

Partie 2 — Équation de la chaleur

Euler expliciteEuler implicite

1.738

β explicite

1.766

β implicite

6.39

C explicite

6.89

C implicite

Erreur max vs N (T = 1, ν variable)

Explicite

Implicite

Stabilité expl. : k < h²/(2‖ν‖∞) · Impl. : k = h (toujours stable)

Partie 3 — Black-Scholes

13.35 €

Prix option call @ S = 10 000 €

Strike K(x)

0.95·x

Volatilité σ

20 %

Maturité T

365 j

N mailles

200

Profil U(T, x) — option call

U(T, x)

Payoff h(x)

Partie 4 — Méthodes de gradient

Steepest descent vs gradient à pas fixe

Pas fixe j=1150 (max)

Pas fixe j=3122

Pas fixe j=491

Pas fixe j=5 ★72

Pas fixe j=6150 (div.)

Steepest descent66

Partie 4 — Méthode PCG (N = 20)

Gradient conjugué préconditionné

ρ = 1 — Laplacien standard

C = I62 iter.

C = diag(A)59 iter.

C = IC(0)23 iter.

ρ variable — gâteau (contraste fort)

C = I248 iter.

C = diag(A)83 iter.

C = IC(0)26 iter.

IC(0) réduit les itérations d'un facteur ~10 (ρ variable)

Partie 4 (Bonus) — Problème inverse

Cuisson optimale du gâteau

Résistance haut · T_D = 0°C

Gâteau G = [0.2, 0.8] × [0.3, 0.4]

Résistance bas · T_D = 200°C

α_bas12.61 chauffage dominant

α_haut1.76 effet secondaire

T_final≈ 200°C optimal

PCG T126 iter. · IC(0)

PCG T226 iter. · IC(0)

Structures de données

mat_profilINDIAG + ATAB — stockage profil Poisson 1D

mat_bandeIND + TAB 2D — matrice bande tridiagonale

matricebandeclasse C++ — Laplacien 2D symétrique

LDL^TCrout symétrique — factorisation Poisson

LU tridiagfactorisation — chaleur & Black-Scholes

PCG + IC(0)gradient conjugué préconditionné 2D

Synthèse des taux de convergence

Problème	Param.	β exp.	Ordre théo.
Poisson 1D	α=0	−0.943	O(h²) asy.
Poisson 1D	α=10	−0.904	O(h²) asy.
Chaleur expl.	T=1	−1.738	O(k+h²)
Chaleur impl.	T=1	−1.766	O(k+h²)

Condition stabilité Euler explicite :

k < h² / (2 ‖ν‖∞)

ν(x) = 1 (x < 0.5) · ν(x) = 10 (x ≥ 0.5)

Résumé du projet

100%

Poisson 1D

100%

Chaleur 1D

100%

Black-Scholes

100%

Méth. itérat.

LangageC++17 + Python

LibrairiesSTL vector, matplotlib

Code sourceGitHub · ndhviet

AuteurDuc Hoang Viet Nguyen

github.com/ndhviet/Projet-Analyse-numerique-Cplus-M1-UniLille